RESULTADOS ANALÍTICOS

Longitud de la circunferencia

El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.7 La longitud \ell de una circunferencia es:
 \ell = 2\pi r = \pi d
donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues \pi \, (número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:
 \pi = \frac{\ell}{d} = \frac{\ell}{2r}

Área del círculo delimitado por una circunferencia


Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de suscatetos la longitud \ell de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:
 \text{Área} = \frac{1}{2}\ell r = \pi r^2

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas


circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (ab) y radio r consta de todos los puntos (xy) que satisfacen la ecuación
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a
x^2 + y^2 = r^2\,.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,
resultando:
a = -\frac{D}{2}
b = -\frac{E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,, la ecuación de la circunferencia es:
(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

Ecuación vectorial de la circunferencia

En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:
\mathbf{r}(\theta) =(R\cos(\theta),R\sen(\theta))\,,
donde \theta \, es el parámetro de la curva, además cabe destacar que \theta\in[0,2\pi). Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.
De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R) y r un real positivo, la ecuación vectorial
\| \mathbf{x}-\mathbf{c} \|= r
representa una circunferencia de centro c y radio r. La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,
 r=c. \,
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:
r^2 - 2 s r\cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Ecuación paramétrica de la circunferencia

La circunferencia con centro en (ab) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:

\begin{cases}
x= & a + r \cos t \\
y= & b + r\,\sen t
\end{cases} \qquad t\in[0,2\pi)
donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

\begin{cases}
x= & a+r\left ( \frac{1-t^2}{1+t^2}\right )\\
y= & b+r\left ( \frac{2t}{1+t^2}\right )
\end{cases} \qquad t \in \widehat{\mathbb{R}}
donde t no sólo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.9

Ecuación en el plano complejo

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación |z-c| = r\,. En forma paramétrica puede ser escrita como z = re^{it}+c.

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