Longitud de la circunferencia
El interés por conocer la longitud de una circunferencia surge en Babilonia (actual Irak), cuando usaban los carros con rueda, era primordial relacionar el diámetro o radio con la circunferencia.7 La longitud
de una circunferencia es:

donde r es la longitud del radio y d=2r es el diámetro. Así pues
(número pi) es, por definición, el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

Área del círculo delimitado por una circunferencia
Arquímedes, en su tratado Sobre la medida del círculo, definió que el área del círculo era igual en área a un triángulo rectángulo, siendo uno de suscatetos la longitud
de la circunferencia y el otro el radio r. Así, el área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas
En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
.
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a
.
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:
, la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia
En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:
,
donde
es el parámetro de la curva, además cabe destacar que
. Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.


De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R) y r un real positivo, la ecuación vectorial
representa una circunferencia de centro c y radio r. La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.
Ecuación en coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como 

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto
y el radio es
, la ecuación se transforma en:


Ecuación paramétrica de la circunferencia
La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:
donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como
donde t no sólo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.9
Ecuación en el plano complejo
En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación
. En forma paramétrica puede ser escrita como
.


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